Question

设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：设体积为54的正四面体的棱长为a，由此可得BD=a，由中位线定理可知：GH=

1

2

BD=

1

2

a，又由重心定理可知：EF=

2

3

GH=

1

3

a，从而得出两个正四面体的相似比，即可得出所作四面体的体积．

解答：解：设体积为54的正四面体的棱长为a，如图，
G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别是三角形ABC，ACD的重心，BD=a，
由中位线定理可知：GH=

1

2

BD=

1

2

a，
又由重心定理可知：EF=

2

3

GH=

1

3

a，
故所作四面体与原四面体相似，相似比为

1 3 a

a

=

1

3

它们的体积比为(

1

3

)3，
则所作四面体的体积为(

1

3

)3×54=2
故选B．

点评：本小题主要考查棱锥，棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．