题目内容
设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为（ ）A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】分析：设体积为54的正四面体的棱长为a，由此可得BD=a，由中位线定理可知：
=
a，又由重心定理可知：
，从而得出两个正四面体的相似比，即可得出所作四面体的体积．
解答：
解：设体积为54的正四面体的棱长为a，如图，
G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别是三角形ABC，ACD的重心，BD=a，
由中位线定理可知：
=
a，
又由重心定理可知：
，
故所作四面体与原四面体相似，相似比为
它们的体积比为
，
则所作四面体的体积为
=2
故选B．
点评：本小题主要考查棱锥，棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．
=a，又由重心定理可知：，从而得出两个正四面体的相似比，即可得出所作四面体的体积．解答：
解：设体积为54的正四面体的棱长为a，如图，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别是三角形ABC，ACD的重心，BD=a，
由中位线定理可知：
=a，又由重心定理可知：
，故所作四面体与原四面体相似，相似比为
它们的体积比为
，则所作四面体的体积为
=2故选B．
点评：本小题主要考查棱锥，棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．
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