Question

（2012•安徽模拟）如图，正方形ABCD与直角梯形ACEF所在的平面垂直于梯形下底AC，AB=2，梯形上底EF与直角腰EC相等且为

2

．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明AF∥平面BDE，利用线面平行的判定定理，设AC与BD交与点G，证明AF∥GE即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点、向量，利用向量的数量积即可证得CF⊥平面BDE．
（Ⅲ）

CF

=(1，1，

2

)是平面BDE的一个法向量，求出平面ABE的法向量

n

=(0，1，

2

)，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-BE-D的大小．

解答：（Ⅰ）证明：设AC与BD交与点G．
因为EF∥AG，且EF=

2

，AG=

1

2

AC=

2

．
所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥GE，
因为GE?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）证明：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD．
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），D(2，0，0)，E(0，0，

2

)，F(1，1，

2

)．
所以

CF

=(1，1，

2

)，

BE

=(0，-2，

2

)，

DE

=(-2，0，

2

)
所以

CF

•

BE

=0-2+2=0，

CF

•

DE

=-2+0+2=0
所以CF⊥BE，CF⊥DE．
因为BE∩DE=E，所以CF⊥平面BDE．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，

CF

=(1，1，

2

)是平面BDE的一个法向量．
设平面ABE的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

BA

=0，

n

•

BE

=0．
即

-2y+ 2 z=0 2x=0

，
所以x=0，且z=

2

y，
令y=1，则z=

2

．所以

n

=(0，1，

2

)．从而cos＜

n

，

CF

＞=

n • CF

|n || CF |

=

3

2

．
因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D的大小为

π

6

．

点评：本题考查线面平行、线面垂直，考查面面角，考查用向量方法解决立体几何问题，传统方法与向量方法相结合，属于中档题．