Question

已知a，b，c∈（0，1），求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于

1

4

．

Answer 1

分析：首先根据题意，通过反证法假设假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于

1

4

，得出：

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

＞

3

2

；然后根据基本不等式，得出

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

≤

3

2

．相互矛盾，即可证明．

解答：证明：反证法假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于

1

4

（1-a）b＞

1

4

（1-b）c＞

1

4

（1-c）a＞

1

4

即

(1-a)b

＞

1

2

①

(1-b)c

＞

1

2

②

(1-c)a

＞

1

2

③
①②③相加：

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

＞

3

2

由基本不等式a+b≥2

ab

(1-a)b

≤ 

1-a+b

2

④

(1-b)c

≤

1-b+c

2

⑤

(1-c)a

≤

1-c+a

2

⑥
④⑤⑥三式相加

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

≤

3

2

与

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

＞

3

2

矛盾所以假设不成立∴命题得证∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于

1

4

．

点评：本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．