Question

在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，动点与两个定点，的距离之比为．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线：与曲线交于，两点，在曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，，         ………1分

       即 ，                             ……………………3分

       化简得．

       所以动点的轨迹的方程为．                       ……………………5分

（Ⅱ）因为直线：与曲线相交于，两点，

       所以 ， 所以或．             ……………………7分

       假设存在点，使得．                            ……………………8分

       因为，在圆上，且，

       由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，

       所以与互相垂直且平分，                      …………9分

       所以原点到直线：的距离为．…………10分

       即 ，解得， ，经验证满足条件．……………………12分

       所以存在点，使得．                            ……………………13分