Question

已知A，B是圆O：x²+y²=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则

AO

?

AP

-

AP

2的最大值是（　　）

• A、-1
• B、0
• C、

  1

  8

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：由题意知当∠AOB=

π

2

时，S取最大值

1

2

，此时

OA

⊥

OB

，建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得

AO

•

AP

-

AP

2为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．

解答：解：由题意知：△AOB的面积S=

1

2

|

OA

||

OB

|sin∠AOB
=

1

2

×1×1×sin∠AOB=

1

2

sin∠AOB，
当∠AOB=

π

2

时，S取最大值

1

2

，此时

OA

⊥

OB

，
如图所示，不妨取A（1，0），B（0，1），设P（x，1-x）
∴

AO

•

AP

-

AP

2=

AP

•（

AO

-

AP

）=

AP

•

PO

=（x-1，1-x）•（-x，x-1）
=-x（x-1）+（1-x）（x-1）
=（x-1）（1-2x）=-2x²+3x-1，x∈[0，1]
当x=-

3

2×(-2)

=

3

4

时，上式取最大值

1

8

故选：C

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．