Question

已知A、B是圆x²+y²=4上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作x轴的垂线段，交椭圆x²+4y²=4于A₁、B₁点，动点P满足，
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设S₁和S₂分别表示△PAB和△B₁A₁A的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S₁+S₂的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）设，
则， ①    ， ②
从而，
由于，所以，进而有，③
根据，可得，
即，
由④²+4×⑤²，并结合①②③得


，
所以动点Ｐ的轨迹方程为；
（Ⅱ）根据（Ⅰ），
所以直线AB的方程为，
即，
从而点到直线AB的距离为


，
又因为，
所以，
而，
所以，
由①+②-2×③得，
从而有，
当且仅当时取等号，
所以，
即的最大值为2。