Question

如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b．a≤3b，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且都等于x，则四边形EFGH面积的最大值为

 

．

Answer 1

分析：题意可得a＞b＞0，a≤3b，四边形EFGH面积S=ab-2[

1

2

x²+

1

2

（a-x）（b-x）]=-2x²+（a+b）x，0＜x≤b．再利用二次函数的性质求得它的最大值．

解答：解：由题意可得a＞b＞0，a≤3b，且S_△AEH=S_△CFG=

1

2

 x²，S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（b-x），且 0＜x≤b．
故四边形EFGH面积S=ab-2[

1

2

x²+

1

2

（a-x）（b-x）]=-2x²+（a+b）x．
再由a≤3b可得

a+b

4

≤b，故当x=

a+b

4

时，S取得最大值为

(a+b)2

8

，
故答案为

(a+b)2

8

．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，属于中档题．