Question

【题目】已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，其前9项和为63.

(1)求数列和的通项公式；

(2)令，数列的前n项和为，若对任意正整数n，都有，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1) an＝n；bn＝n＋2.

(2) .

【解析】分析：（1）由题意结合所给条件可知数列是首项为1，公差为的等差数列，据此计算可得，利用递推关系式可得.

（2）由（1）裂项求和可得，据此整理计算可得的最小值为.

详解：（1）由2nSn＋1－2（n＋1）Sn＝n（n＋1），得－＝，

所以数列是首项为1，公差为的等差数列，

因此＝S1＋（n－1）×＝n＋，即Sn＝.

于是an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝n＋1，

所以an＝n.

因为bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，所以数列是等差数列，

由{bn}的前9项和为63，得＝63，

又b3＝5，所以b7＝9，

所以数列{bn}的公差d＝＝1，

则bn＝b3＋（n－3）×1＝n＋2.

（2）由（1）知cn＝＋＝＋＝2＋2（－），

所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2（1－＋－＋－＋…＋－＋－）

＝2n＋2（1＋－－）＝3－2（＋）＋2n，

则Tn－2n＝3－2（＋）.

设An＝Tn－2n＝3－2（＋）.

因为An＋1－An＝3－2（＋）－[3－2（＋）]＝2（－）＝>0，

所以数列{An}为递增数列，则（An）min＝A1＝.

又因为An＝3－2<3，所以≤An<3.

因为对任意正整数n，Tn－2n∈[a，b]，所以a≤，b≥3，则（b－a）min＝3－＝.