Question

已知函数f（x）=ax²+bx，g（x）=lnx．
（1）当a=0时，①若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），求x₀及b的值；②f（x）=g（x）在[1，m]上有解，求b的范围；
（2）当b=-1时，若f（x）≥g（x）在[

1

e

，n]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①根据切点在曲线上，以及在x=x₀处的导数等于切线的斜率，建立方程组即可求出x₀及b的值；
②f（x）=g（x）在[1，m]上有解，可转化成y=b与h(x)=

lnx

x

在[1，m]上有交点，然后利用导数研究h（x）在[1，m]上的值域，从而求出b的取值范围；
（2）f（x）≥g（x）在[

1

e

，n]上恒成立，可将a分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧函数在[

1

e

，n]上的最值，从而求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵a=0∴f（x）=bx，
①f′(x)=b， g′(x)=

1

x

∴

b= 1 x0 bx0=lnx0

 ， ∴x0=e，∴b=

1

e

；
②∵f(x)=g(x)∴bx=lnx(x＞0)∴b=

lnx

x

在[1，m]上有解，即y=b与h(x)=

lnx

x

在[1，m]上有交点，
∵h′(x)=

1-lnx

x2

，
∴当m≤e时h（x）在[1，m]上递增，则h(x)∈[0，

lnm

m

]，
当m＞e时h（x）在[1，e]上递增，在[e，m]上递减且h（x）＞0，则h(x)∈[0，

1

e

]，
∴m≤e时，b∈[0，

lnm

m

]；m＞e时，b∈[0，

1

e

]；
（2）∵b=-1∴f（x）=ax²-x∴f（x）≥g（x）即ax²-x≥lnx，
即a≥

x+lnx

x2

在[

1

e

，n]上恒成立，
令r(x)=

x+lnx

x2

，∴r′(x)=

1-x-2lnx

x3

，
令s（x）=1-x-2lnx，则s（x）为单调减函数，且s（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，r′（x）＞0，r（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单调递减，
若n≤1，则r（x）在[

1

e

，n]上单调递增，
∴rmax(x)=r(n)=

n+lnn

n2

，∴a≥

n+lnn

n2

；
若n＞1，则r（x）在[

1

e

，1]上单调递增，[1，n]单调递减，
∴r_max（x）=r（1）=1，∴a≥1，
∴

1

e

＜n≤1时，a≥

n+lnn

n2

；n＞1时，a≥1．

点评：本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．