Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

n

2

π（n∈N^*）
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

n

2

π（n∈N^*）分别取n=1，2即可得出a₃，a₄．
①当n=2k-1（（k∈N*）时，a_n+2=a_n+1，奇数项形成的数列{a_2n-1}是一个等差数列；
②当n=2k时，a_n+2=2a_n，偶数项形成的数列{a_2n-1}是一个等比数列．
（2）由（1）可得：bn=

n

2n

，利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）a3=(1+cos2

π

2

)a1+sin2

π

2

=a₁+1=2．
a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a₂=4．
∴①当n=2k-1（（k∈N*）时，a_n+2=(1+cos2

2k-1

2

π)an+sin2

2k-1

2

π=a_n+1，
奇数项形成的数列{a_2n-1}是一个等差数列，首项a₁=1，公差d=1，
∴a_2n-1=1+（n-1）×1=n，∴n为奇数时，a_n=

n+1

2

．
②当n=2k时，a_n+2=(1+cos2kπ)an+sin2kπ=2a_n，
∴偶数项形成的数列{a_2n-1}是一个等比数列，首项a₂=2，公比q=2，
∴a2n=2×2n-1=2n，∴n为偶数时，a_n=2

n

2

．
综上可得：an=

n+1 2 ，n为正奇数 2 n 2 ，n为正偶数

．
（2）bn=

n

2n

，
∴Sn=

1

21

+

2

22

+

3

2n

+…+

n

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

2+n

2n

．

点评：本题考查了通过分类讨论得出数列的通项公式、等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．