Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，若x∈[-4，-2]时，恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．[-2，0）∪（0，l）
B．[-2，0）∪[l，+∞）
C．[-2，l]
D．（-∞，-2]∪（0，l]

Answer 1

【答案】分析：由x∈[-4，-2]时，恒成立，则不大于x∈[-4，-2]时f（x）的最小值，根据f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，，求出x∈[-4，-2]时f（x）的最小值，构造分式不等式，解不等式可得答案．
解答：解：当x∈[0，1）时，f（x）=x²-x∈[-，0]
当x∈[1，2）时，f（x）=-（0.5）^|x-1.5|∈[-1，]
∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-
当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-
若x∈[-4，-2]时，恒成立，
∴
即
即4t（t+2）（t-1）≤0且t≠0
解得：t∈（-∞，-2]∪（0，l]
故选D
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，分式不等式的解法，高次不等式的解法，是函数、不等式的综合应用，难度较大．