Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，圆心在y轴上的圆C2与斜率为-1的直线l切于点B（-

2

2

，3-

2

2

），且AF∥l．
（1）求圆的方程及椭圆的离心率．
（2）过P作圆C2的切线PE，PG，若

C2E

C2G

的最小值为-

23

25

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆心在y轴上的圆C2与斜率为1的直线l切于点B（-

2

2

，3-

2

2

），所以圆心在过B且垂直于l的直线y=x+3上，又圆心在y轴上，则圆心C2（0，3），圆心到直线l：y=-x+3-

2

的距离r=

|- 2 |

2

=1，由此能求出椭圆的离心率．
（2）设∠EC₂G=2a，则

C2E

•

C2G

=|

C2E

| •|

C 2G

| •cos2α=cos2α=2cos²α-1，在Rt△PC₂E中，cosα=

r

| PC2 |

=

1

| PC2 |

，由椭圆的几何性质有：|

PC2

| ≤b+3，由此能求出椭圆的方程．

解答：解：（1）由圆心在y轴上的圆C2与斜率为1的直线l切于点B（-

2

2

，3-

2

2

），所以圆心在过B且垂直于l的直线y=x+3上，又圆心在y轴上，则圆心C₂（0，3），
圆心到直线l：y=-x+3-

2

的距离r=

|- 2 |

2

=1，所以所求圆C2方程为：x²+（y-3）²=1，又AF∥l，F（c，0），A（0，b），所以有

0-b

c-0

=-1，即b=c，椭圆的离心率为

2

2

；
（2）设∠EC₂G=2a，则

C2E

•

C2G

=|

C2E

| •|

C 2G

| •cos2α=cos2α=2cos²α-1，
在Rt△PC₂E中，cosα=

r

| PC2 |

=

1

| PC2 |

，由椭圆的几何性质有：|

PC2

| ≤b+3，
cosα=

1

| PC2 |

≥

1

b+3

，所以有

2

(b+3)2

-1=-

23

25

，因b＞0，所以b=2，
所以椭圆的方程为C1：

x2

8

+

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆的方程和椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设条件，合理运用椭圆性质，恰当进行等价转化．