Question

【题目】已知函数.

(1)当a=1时，求函数在（2，）处的切线方程:

(2)当a=2时，求函数的单调区间和极值;

(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（2）； （2）在上单调递增，f（x）无极值． （3）

【解析】

（1）当时，求导函数，则函数在处的切线的斜率即为导数值，根据点斜式方程即可求出切线方程；

（2）先求出函数的定义域，把代入到函数中并求出时的值，在定义域内讨论导函数的正负得到函数的单调区间及极值；

（3）把代入到中得到的解析式，求出其导函数大于0即函数单调，可设，求出其导函数在上单调递减，求出的最大值，列出不等数求出解集即为的取值范围．

解：（1）当时，函数，

则，

函数在处的切线斜率为，切点为；

函数在处的切线方程为：；

即；

（2）函数的定义域为，

当时，，，

则；

在上单调递增，无极值．

（3）由，得；

又函数在上单调增函数，

则在上恒成立，

即不等式在上恒成立；

也即在上恒成立，

又在为减函数，

所以（1）．

所以．

故的取值范围为．