Question

已知数列{a_n}，a_i∈{-1，0，1}（i=1，2，3，…2011），若a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=11，且（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₁+1）²=2088，则a₁，a₂，…，a₂₀₁₁中是1的个数为

33

．

Answer 1

分析：由（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₁+1）²=2088，得a12+a22+…+a20112+2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₁）+2011=2088，由已知可求得a12+a22+…+a20112=55，即1，-1的个数和为55，而a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=11，即1与-1的个数差，联立方程组可求得1的个数．

解答：解：由（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₁+1）²=2088，得
a12+a22+…+a20112+2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₁）+2011=2088，
又a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=11，
所以a12+a22+…+a20112+2×11+2011=2088，解得a12+a22+…+a20112=55，
设a₁，a₂，…，a₂₀₁₁中1的个数为x，-1的个数为y，则x+y=55①，
又a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=11，则x-y=11②，
联立①②解得x=33，即1的个数为33个，
故答案为：33．

点评：本题考查数列求和，考查学生的推理论证能力，属中档题．