Question

20．已知f（x）=-x+6，$g（x）=-2{x^2}+4x+6，\;h（x）=\left\{{\begin{array}{l}{g（x）\;，x∈\left\{{x|f（x）≥g（x）}\right\}}\\{f（x）\;，x∈\left\{{x|f（x）＜g（x）}\right\}}\end{array}}$，则h（x）的最大值为6．

Answer 1

分析 化简h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+4x+6，x≤0或x≥\frac{5}{2}}\\{-x+6，0＜x＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，从而判断单调性并求最值．

解答 解：∵f（x）-g（x）=2x²-5x=2x（x-$\frac{5}{2}$），
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+4x+6，x≤0或x≥\frac{5}{2}}\\{-x+6，0＜x＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
故h（x）在（-∞，0）上是增函数，
在（0，+∞）上是减函数；
故h_max（x）=h（0）=6；
故答案为：6．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数的单调性的判断与应用．