题目内容

由倍角公式，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．

对于cos3x，我们有

可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式．

(Ⅰ)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；

(Ⅱ)请求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；

(Ⅲ)利用结论，求出sin18°的值．

答案：
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由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
=4cos3x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin3x；
（II）请求出P4（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．
由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
=4cos3x-3cocs．
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．
一般地，存在一个n次多项式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．
（1）请尝试求出P4（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x．
（2）化简cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．

（（本小题满分12分）
由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.
对于，我们有



可见可以表示为的三次多项式。一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.
（I）求证：；
（II）请求出，即用一个的四次多项式来表示；
(III)利用结论，求出的值.

（（本小题满分12分）

由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.

对于，我们有

可见可以表示为的三次多项式。一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.

（I）求证：；

（II）请求出，即用一个的四次多项式来表示；

(III)利用结论，求出的值.

 

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