Question

若函数f（x）=x²•lga-2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）=x²•lga-2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点的条件，转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．

解答：解：由题意可知：函数f（x）=x²•lga-2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，
当a=1时，函数f（x）=-2x+2在区间（1，2）内没有且零点．
当a≠1时，由于函数的对称轴为x=

1

lga

，
当

1

lga

≤1或

1

lga

≥2时，此时函数在区间（1，2）内单调
∴只需有f（1）•f（2）＜0，
即lga•（4lga-2）＜0，解得0＜lga＜

1

2

，即1＜a＜

10

．
当1＜

1

lga

＜2，即

10

＜a＜10时，△=4-8lga=0，无解．
综上，1＜a＜

10

．
故答案为1＜a＜

10

．

点评：此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、问题转化的思想以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．