Question

已知△ABC的面积为1，且满足0＜

AB

•

AC

≤2，设

AB

和

AC

的夹角为θ．
（ I）求θ的取值范围；
（ II）求函数f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-cos(2θ+

π

6

)的最大值及取得最大值时的θ值．

Answer 1

（Ⅰ）设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，
∵△ABC的面积为1，且满足0＜

AB

•

AC

≤2，设

AB

和

AC

的夹角为θ，
∴

1

2

bcsinθ=1，即bc=

2

sinθ

，0＜bccosθ≤2，
∴0＜

2

tanθ

≤2，即tanθ≥1，
∵θ∈（0，π），
∴θ∈[

π

4

，

π

2

）；
（Ⅱ）f（θ）=[1-cos（

π

2

+2θ）]-[

3

2

cos2θ-

1

2

sin2θ]
=1+sin2θ-

3

2

cos2θ+

1

2

sin2θ=

3

sin（2θ-

π

6

）+1，
∵θ∈[

π

4

，

π

2

），2θ-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

）
∴当θ=

π

3

时，f（θ）_max=

3

+1．