在△ABC中.D为BC边上的点.BD=$\frac{1}{3}$BC.∠ADC=60°.且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+2S△ABC=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|．(1)求角B,(2)若|AC|=$\sqrt{6}$.求S△ABC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．在△ABC中，D为BC边上的点，BD=$\frac{1}{3}$BC，∠ADC=60°，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+2S_△ABC=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|．
（1）求角B；
（2）若|AC|=$\sqrt{6}$，求S_△ABC．

分析（1）运用向量的数量积的定义和两角和的正弦公式，计算即可得到角B；
（2）设AD=x，BD=$\frac{1}{3}$a，CD=$\frac{2}{3}$a，在△ACD中，由余弦定理，在△ABD中，由正弦定理可得a=3，再由余弦定理可得cosC，进而得到sinC，再由面积公式计算即可得到．

解答解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+2S_△ABC=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|，
可得cacosB+acsinB=$\sqrt{2}$ca，
即有sinB+cosB=$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}$sin（B+45°）=$\sqrt{2}$，
由B为三角形的内角，即有B+45°=90°，
解得B=45°；
（2）设AD=x，BD=$\frac{1}{3}$a，CD=$\frac{2}{3}$a，
在△ACD中，由余弦定理可得，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°，
即为6=x²+$\frac{4}{9}$a²-$\frac{2}{3}$ax，
在△ABD中，B=45°，∠BAD=15°，
由正弦定理可得，$\frac{x}{sin45°}$=$\frac{\frac{1}{3}a}{sin15°}$，
即有x=$\frac{\sqrt{3}+1}{3}$a，
解得a=3，x=$\sqrt{3}$+1，
在△ACD中，CD=2，AD=$\sqrt{3}+1$，AC=$\sqrt{6}$，
即有cosC=$\frac{6+4-（4+2\sqrt{3}）}{2×2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
即有sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．