题目内容

已知函数f（log₄x）=log₄（x+1）+klog₄x（k∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，求实数k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数 $数学公式$ 在（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）令t=log₄x，则有x=4^t，f（t）= $\text{[math]}$ +kt，故函数f（x）的解析式为 f（x）= $\text{[math]}$ +kx．
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x） $\text{[math]}$ -kx= $\text{[math]}$ +kx，化简可得- $\text{[math]}$ =2kx，
即（ 2k+1）x=0，∴k=- $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x，
函数 $\text{[math]}$ =log₄m- $\text{[math]}$ +2x 在（0，+∞）上存在零点，
故有 log₄m= $\text{[math]}$ -2x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ =t，则 1＞t＞0，log₄m= $\text{[math]}$ ．
由二次函数的性质可得 0＜t²+t＜2，
∴0＜m＜2，故实数m的取值范围为（0，2）．
分析：（Ⅰ）令t=log₄x，则有x=4^t，f（t）= $\text{[math]}$ +kt，由此可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），化简可得- $\text{[math]}$ =2kx，即（ 2k+1）x=0，由此求得 k的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x，由题意可得log₄m= $\text{[math]}$ -2x= $\text{[math]}$ ．令 $\text{[math]}$ =t，则 1＞t＞0，且log₄m= $\text{[math]}$ ．由二次函数的性质可得 0＜t²+t＜2，由此可得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质应用，函数的零点的定义、二次函数的性质，属于中档题．