题目内容
已知函数f(x)=log4(2x+3-x2)，
（1）求函数的定义域；
（2）求f（x）的单调区间．
（1）求函数的定义域；
（2）求f（x）的单调区间．
分析：（1）由函数的解析式可得 2x+3-x2＞0，解此一元二次不等式求出x的范围，即得函数的定义域．
（2）设u=2x+3-x2=-（x-1）2+4 即抛物线的对称轴是x=1，开口向下，则f（x）=log4u，利用符合函数的单调性规律求得f（x）的单调区间．
（2）设u=2x+3-x2=-（x-1）2+4 即抛物线的对称轴是x=1，开口向下，则f（x）=log4u，利用符合函数的单调性规律求得f（x）的单调区间．
解答：解：（1）由2x+3-x2＞0得 x2-2x-3＜0，即（x-3）（x+1）＜0，所以-1＜x＜3，
故函数的定义域为（-1，3）．（6分）
（2）设u=2x+3-x2=-（x-1）2+4 即抛物线的对称轴是x=1，开口向下，则f（x）=log4u，
因为函数u在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减，
又f（x）=log4u在u∈（0，+∞）上是增函数，由复合函数的单调性知：
f（x）=log4(2x+3-x2)在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减． …（12分）
故函数的定义域为（-1，3）．（6分）
（2）设u=2x+3-x2=-（x-1）2+4 即抛物线的对称轴是x=1，开口向下，则f（x）=log4u，
因为函数u在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减，
又f（x）=log4u在u∈（0，+∞）上是增函数，由复合函数的单调性知：
f（x）=log4(2x+3-x2)在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减． …（12分）
点评：本小题主要考查函数的定义域的求法，符合函数的单调性的应用，属于基础题．
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