Question

13．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，0＜α＜π，求：（1）sinα-cosα的值，（2）sin³α-cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数关系式得2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，sinα＞0，cosα＜0，由此能求出sinα-cosα．
（2）由sin³α-cos³α=（sinα-cosα）（sin²α+sinαcosα+cos²α），利用同角三角函数关系式能求出结果．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，0＜α＜π，
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，∴sinα＞0，cosα＜0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{17}{9}$，
∴sinα-cosα=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
（2）sin³α-cos³α
=（sinα-cosα）（sin²α+sinαcosα+cos²α）
=$\frac{\sqrt{17}}{3}$（1-$\frac{4}{9}$）
=$\frac{5\sqrt{17}}{27}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数性质的合理运用．