Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=C，2b=

3

a．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）cos(2A+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．
（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出cos(2A+

π

4

)的值．

解答：解：（I）由B=C，2b=

3

a可得c=b=

3

2

a
所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3 4 a2+ 3 4 a2-a2

2× 3 a 2 ×  3a 2

=

1

3

（II）因为cosA=

1

3

，A∈(0，π)
所以sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

故sin2A=2sinAcosA=

4 2

9

所以cos(2A+

π

4

)=cos2Acos

π

4

-sin2Asin

π

4

=-

7

9

×

2

2

-

4 2

9

×

2

2

=-

8+7 2

18

点评：本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．