Question

直线l经过点（1，1），若抛物线y²=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：设岀存在两点关于直线对称，则两点连线与对称轴垂直，两点的中点在对称轴上；将两点代入抛物线作差，得到斜率与中点的关系，
据点在抛物线上，利用基本不等式求出斜率范围．

解答：解：设直线l的方程为y-1=k（x-1），弦的两个端点分别是A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入抛物线方程并作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=x₁-x₂．
∵k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

，
∴y₁+y₂=-k．注意到AB的中点在直线l：y-1=k（x-1）上，∴x₁+x₂=1-

2

k

．
∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=1-

2

k

．
由y₁²+y₂²＞

(y1+y2)2

2

，得1-

2

k

＞

k2

2

?

(k+2)(k2-2k+2)

2k

＜0
?-2＜k＜0．

点评：本题考查解决对称问题的基本方法是利用两点关于直线对称时，两点连线与对称轴垂直，两点中点在对称轴上．