Question

在△ABC中，已知角A，B，C所对的三条边分别是a，b，c，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的表达式，结合两角和的正弦函数以及三角形的内角，求出B的值即可．
（2）通过余弦定理，以及B的值，a+c=4，求出ac的值，然后求出三角形的面积．

解答：解：（1）因为

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
所以

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0
∴2sinAcosB+sinA=0，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
则cosB=-

1

2

．B∈（0，π），∴B=

2π

3

．
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∵b=

13

，a+c=4，B=

2π

3

，
∴13=a²+c²+ac
∴（a+c）²-ac=13
∴ac=3
∴S=

1

2

acsinB=

3 3

4

．

点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦函数，三角形的面积公式的应用，考查计算能力．