Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，b_n=a_n+1．
（1）证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）令cn=

n+1

an+1

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可证得

bn+1

bn

=2，从而证得数列{b_n}是等比数列；
（2）由（1）可求得b_n=2ⁿ，继而可知a_n=2ⁿ-1，从而可得c_n=

n+1

2n

，S_n=c₁+c₂+…+c_n=

2

21

+

3

22

+…+

n+1

2n

，利用错位相减法即可求得答案．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，b_n=a_n+1，a_n+1
∴

bn+1

bn

=

an+1+1

an+1

=2，又b₁=a₁+1=2，
∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，b_n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1；…（5分）
∴c_n=

n+1

an+1

=

n+1

2n

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=

2

21

+

3

22

+…+

n+1

2n

，①
∴

1

2

S_n=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，②
①-②得：

1

2

S_n=

2

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

1

2

+1-(

1

2

)n-

n+1

2n+1

，
∴S_n=3-(

1

2

)n-1-（n+1）•(

1

2

)n…（12分）

点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，突出考查错位相减法的应用，属于中档题．