Question

选修4-4：坐标系与参数方程

       已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为．

       （Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

       （Ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线C有两个不同的公共点、，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴可将曲线C的方程化为普通方程：．……1分

①当时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；  ……2分

②当时，曲线C为中心在原点的椭圆． ……3分

（Ⅱ）直线的普通方程为：．  ……4分

联立直线与曲线的方程，消得，化简得．

若直线与曲线C有两个不同的公共点，则，解得．

……5分

又  ……6分

故

．

解得与相矛盾． 

故不存在满足题意的实数．  ……7分