Question

已知函数f（x）=lnx，
（I）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）在（I）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（III）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）依题意：h（x）=lnx+x²﹣bx．
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴  对x∈（0，+∞）恒成立，
∴，
∵x＞0，则．
∴b的取值范围是．
（II）设t=e^x，则函数化为y=t²+bt，t∈[1，2]．
∵．
∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，y_min=b+1；
当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；
，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数， 当t=2时，y_min=4+2b．
综上所述：
（III）设点P、Q的坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂．
则点M、N的横坐标为．
C₁在点M处的切线斜率为．
C₂在点N处的切线斜率为．
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂．即．
则
                                                                               =，
∴
设，则，                                                        （1）
令，则，
∵u＞1，∴r'（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！