题目内容
已知{
，
，
}是空间的一个基底设
=2
-
+
，
=
+3
-2
，
=-2
+
-3
，
=3
+2
+5
．试问是否存在实数λ，μ，υ，使
=λ
+μ
+υ
成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．
【答案】分析：假设存在实数λ，μ，υ使
=λ
+μ
+υ
成立，代入向量，根据空间向量基本定理可得方程组，解出即可作出判断．
解答：解 假设存在实数λ，μ，υ使
=λ
+μ
+υ
成立，
则有3
+2
+5
=λ（2
-
+
）+μ（
+3
-2
）+υ（-2
+
-3
）
=（2λ+μ-2υ）
+（-λ+3μ+υ）
+（λ-2μ-3υ）
，
∵{
，
，
}是一组基底，∴
，
，
不共面，
，解得
，
故存在λ=-2，μ=1，υ=-3使结论成立．
点评：本题考查空间向量基本定理及其意义，考查方程思想，属中档题．
=λ
+μ
+υ
成立，代入向量，根据空间向量基本定理可得方程组，解出即可作出判断．解答：解 假设存在实数λ，μ，υ使
=λ
+μ
+υ
成立，则有3
+2
+5
=λ（2
-
+
）+μ（
+3
-2
）+υ（-2
+
-3
）=（2λ+μ-2υ）
+（-λ+3μ+υ）
+（λ-2μ-3υ）
，∵{
，
，
}是一组基底，∴
，
，
不共面，
，解得
，故存在λ=-2，μ=1，υ=-3使结论成立．
点评：本题考查空间向量基本定理及其意义，考查方程思想，属中档题．
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=
，P是空间一点，且P到
的距离为
⊥
， 
=
，P是空间一点，且P到
、
=
，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到