Question

如图，F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F₁作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F₂作直线PF₂的垂线交直线l：x=

a2

c

于点Q，若点Q的坐标为（1，-4）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出P的坐标，根据点Q的坐标，PF₁⊥QF₂，即可求得双曲线C的方程；
（Ⅱ）利用角平分线的性质，求出∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程与x轴交点的坐标，即可求得直线方程．

解答：解：（Ⅰ）将点P（-c，y₁）（y₁＞0）代入

x2

a2

-

y2

b2

=1得y₁=

b2

a

∴P（-c，

b2

a

）
∵点Q的坐标是（1，-4），PF₂⊥QF₂
∴

b2 a -0

-c-c

×

0+4

c-1

=-1
∵

a2

c

=1，c²=a²-b²
∴a=2，c=4，b=

c2-a2

=2

3

∴双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

12

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-4，0），F₂（4，0），P（-4，6），则|PF₁|=6，|PF₂|=10
设∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程与x轴交于M（x，0），则由角平分线的性质可得

10

6

=

4-x

x+4

∴x=-1，∴M（-1，0）
∴∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程为

y-0

6-0

=

x+1

-4+1

，即2x+y+2=0．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．