Question

如图，F₁（-c，0），F₂（c，0）为双曲线E的两焦点，以F₁F₂为直径的圆O与双曲线E交于M、N、M₁、N₁，B是圆O与y轴的交点，连接MM₁与OB交于H，且H是OB的中点．
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数．

Answer 1

分析：（1）由c=1，知B（0，1），H(0，

1

2

)，M(

3

2

，

1

2

)，由M在E上，知

a2+b2=1 3 4a2 - 1 4b2 =1

，由此能求出双曲线E的方程．
（2）由F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，

c

2

)，M(

3 c

2

，

c

2

)，知3e⁴-8e²+4=1，由此能证明e为常数．

解答：（1）解：∵c=1，
∴B（0，1），H(0，

1

2

)，M(

3

2

，

1

2

)，
设E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵M在E上，则
∴

a2+b2=1 3 4a2 - 1 4b2 =1

，
解得

a2= 1 2 b2= 1 2

，
∴双曲线E的方程为：2x²-2y²=1…7分
（2）证明：F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，

c

2

)，M(

3 c

2

，

c

2

)
设E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，

a2+b2=c2 3c2 4a2 - c2 4b2 =1 e= c a

，即3e4-8e2+4=1，
解得e²=2或e²=

2

3

（舍），
∴e=

2

为常数． 7分．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．