Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²﹣a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若的最大值；
（3）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²﹣a²x（a＞0），
∴f'（x）=3ax²+2bx﹣a²，（a＞0），
依题意有，（a＞0）
解得a=6，b=﹣9，
∴f（x）=6x³﹣9x²﹣36x．
（2）∵f'（x）=3ax²+2bx﹣a²，（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，且，
∴，
∴，
∴b²=3a²（6﹣a），
∵b²≥0，
∴0＜a≤6，
设p（a）=3a²（6﹣a），则p'（a）=﹣9a²+36a，
由p'（a）＞0，得0＜a＜4，
由p'（a）＜0，得a＞4，
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在[4，6]上是减函数．
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是4
∴b的最大值是4．
（3）证明：∵x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x﹣x₁）（x﹣x₂），
∵，x₂=a，
∴，
∴|g（x）|=|3a（x+）[3（x﹣a）﹣1]，
∵x₁＜x＜x₂，即，
∴，
∴=﹣3a++
≤=，
∴|g（x）|≤成立．