Question

（文）已知右焦点为F的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=

2 3

3

，其右准线与经过第一象限的渐近线交于点P，且P的纵坐标为

3

2

．
（Ⅰ）求双曲线的方程； 
（Ⅱ）求直线PF被抛物线y²=8x截得的线段长．

Answer 1

分析：（I）由题意可知，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1得右准线方程为x=

a2

c

，经过第一象限的双曲线的渐近线方程y=

b

a

x可求P的纵坐标，则可得a，b，c之间的关系，由离心率可求，a，c的关系，进而可求，a，b及双曲线的方程
（II）题意可设PF所在的直线方程为y=-

3

(x-2)，与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求x1+x2=

20

3

，利用AB=x₁+x₂=p可求

解答：解：（I）由题意可知，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1得右准线方程为x=

a2

c

（1分）
经过第一象限的双曲线的渐近线方程y=

b

a

x（1分）
联立

x= a2 c y= b a x

可得点P（

a2

c

，

ab

c

）（1分）
∵点P的纵坐标为y=

3

2

∴

ab

c

=

3

2

∵e=

c

a

=

2 3

3

∴a=

3

，b=1（2分）
∴所求的双曲线的标准方程为

x2

3

-y2=1（1分）
（II）由（I）知P（

3

2

，

3

2

），双曲线的焦点的坐标F（2，0）
而F（2，0）也是抛物线y²=8x的焦点，设PF所在的直线方程为y=-

3

(x-2)
与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（1分）
联立

y=- 3 (x-2) y2=8x

可得，3x²-20x+12=0（1分）
∴x1+x2=

20

3

（1分）
∴AB=x₁+x₂=p=

32

3

（1分）
∴直线PF被抛物线截得的线段长

32

3

（1分）

点评：本题主要考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与抛物线的相交关系的应用，抛物线的焦点弦公式的应用．