Question

（文）已知右焦点为F的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=

2 3

3

，其右准线与经过第一象限的渐近线交于点P，且P的纵坐标为

3

2

．
（Ⅰ）求双曲线的方程； 
（Ⅱ）求直线PF被抛物线y²=8x截得的线段长．

Answer 1

（I）由题意可知，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1得右准线方程为x=

a2

c

（1分）
经过第一象限的双曲线的渐近线方程y=

b

a

x（1分）
联立

x= a2 c y= b a x

可得点P（

a2

c

，

ab

c

）（1分）
∵点P的纵坐标为y=

3

2

∴

ab

c

=

3

2

∵e=

c

a

=

2 3

3

∴a=

3

，b=1（2分）
∴所求的双曲线的标准方程为

x2

3

-y2=1（1分）
（II）由（I）知P（

3

2

，

3

2

），双曲线的焦点的坐标F（2，0）
而F（2，0）也是抛物线y²=8x的焦点，设PF所在的直线方程为y=-

3

(x-2)
与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（1分）
联立

y=- 3 (x-2) y2=8x

可得，3x²-20x+12=0（1分）
∴x1+x2=

20

3

（1分）
∴AB=x₁+x₂=p=

32

3

（1分）
∴直线PF被抛物线截得的线段长

32

3

（1分）