Question

6．已知点A，B在双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，且线段AB经过原点，点M为圆x²+（y-2）²=1上的动点，则$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值为-7．

Answer 1

分析 设A（x，y），B（-x，-y），M（a，b），则$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x-a，y-b）•（-x-a，-y-b）=a²-x²+b²-y²，所以求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值，只要求出a²+b²的最大值，x²+y²的最小值．

解答 解：设A（x，y），B（-x，-y），M（a，b），则
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x-a，y-b）•（-x-a，-y-b）=a²-x²+b²-y²，
所以求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值，只要求出a²+b²的最大值，x²+y²的最小值，
因为点M为圆x²+（y-2）²=1上的动点，
所以a²+b²的最大值为（2+1）²=9，
因为点A，B在双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，
所以x²+y²的最小值为16，
所以$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值为9-16=-7，
故答案为：-7．

点评 本题考查求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值，只要求出a²+b²的最大值，x²+y²的最小值是解题的关键．