Question

已知二次函数f（x）=ax²+x．对于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：本题可以从a的正、负入手，考虑a＞0与a＜0两种情况，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解，根据二次函数图象与性质进行讨论即可．

解答：解：由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]，
（1）当a＞0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向上，对称轴为x=-

1

2a

＜0，
且经过原点（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
（2）当a＜0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向下，对称轴为x=-

1

2a

＞0，
且经过原点（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）当-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1时，需满足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1
及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即-2≤a≤-

1

4

；
（ii）当

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

时，需满足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1，
即a≤-

1

4

，
∴-1≤a≤-

1

2

；
（iii）当-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0，需满足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，这显然成立；
（3）a=0的时候，不是二次函数 不合题目要求．
综上，实数a的取值范围是[-2，0）．

点评：分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．本解法比前一解法虽然复杂不少，但是其中所蕴涵的分类讨论思想与数形结合思想却是处理很多疑难问题的“利剑”．