Question

如图，在△ABC中，，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线l与圆E：（x﹣1）²+y²=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵
∴|BO|=|OC|=1，
∴
∴
依椭圆的定义有：=
∴a=2
又c=1，
∴b²=a²﹣c²=3
∴椭圆的标准方程为
（2）椭圆的右顶点（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径．
假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，
则∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离
当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，此时圆心E（1，0）到直线l的距离d=1
当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0，
∴圆心E（1，0）到直线l的距离，无解
综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，此时l方程为x=2