Question

已知A（-2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足．
（1）求点D的轨迹方程；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设C、D点的坐标分别为C（x，y），D（x，y），欲求点D的轨迹方程，即寻找x，y之间 的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入距离公式即可得；
（2）设椭圆方程为，根据圆的切线性质及中点条件，利用待定系数法求出待定系数a，b即可．
解答：解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x，y），D（x，y），
则），，
则，
故．
又
代入中，整理得x²+y²=1，
即为所求点D的轨迹方程．
（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），①
又设椭圆方程为，②
因为直线l：kx-y+2k=0与圆x²+y²=1相切．
故，
解得．将①代入②整理得，（a²k²+a²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0，③
将代入上式，
整理得，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则，
由题意有，求得．
经检验，此时③的判别式
故所求的椭圆方程为．
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．