Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，点E(

a2

c

，0)在x轴上，若椭圆的离心率e=

2

2

，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若过F的直线交椭圆于A，B两点，且

OA

+

OB

与向量

m

=(4，-

2

)共线（其中O为坐标原点），求证：

OA

与

OB

的夹角为

π

2

．

Answer 1

分析：（1）跟椭圆的性质及题意可知

c

a

和

a2

c

-c的值，联立方程可求得a和c，进而根据b=

a2-c2

求得b．
（2）根据（1）可求得椭圆的焦点可知直线不垂直于x轴，进而可设直线AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线和椭圆方程联立消去y，根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出

OA

+

OB

求得k的值，进而可求得

OA

•

OB

=0判断夹角为90°

解答：解：（1）由题意知

c

a

=

2

2

，

a2

c

-c=1，解得a=

2

，c=1，从而b=1．
（2）由（1）知F（1，0），显然直线不垂直于x轴，
可设直线AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=

-2k

1+2k2

，
于是

OA

+

OB

=(

4k2

1+2k2

，-

2k

1+2k2

)，
依题意：

4k2 1+2k2

4

=

-2k 1+2k2

- 2

，故k=

2

，或k=0(舍)
又y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=-

k2

1+2k2

，
故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，所以

OA

与

OB

的夹角为90°

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．