Question

如图所示，四边形ABCD和ABEF都是正方形，点M是DF的中点．
（I）求证：AM⊥平面CDFE；
（II）求证：DF∥平面BCE．

Answer 1

证明：（ I）∵四边形ABCD和ABEF都是正方形，
∴AB⊥AF，AB⊥AD，
又AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF．
∵AB∥EF，
∴EF⊥平面ADF．
∵AM?平面ADF，
∴AM⊥EF．
∵AD=AF，在△ADF中，M是DF的中点，
∴AM⊥DF．
又∵DF∩EF=F，
∴AM⊥平面CDFE．
（II）由四边形ABCD和ABEF都是正方形，
∴AB∥EF，AB=EF，AB∥CD，AB=CD，
∴EF∥CD，EF=CD．
∴四边形CDFE为平行四边形，
∴DF∥CE．
又∵DF?平面BCE，CE?平面BCE，
∴DF∥平面BCE．