Question

设a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x≥1，f（x）≥1，且f（f（x））=x，求证：f（x）=x．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调函数，故f′（x）≥0或≤0在[1，+∞）上恒成立，用分离参数求最值即可．．
（2）结合（1）中的单调性用反证法考虑．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-a
若f（x）在[1，+∞）上是单调递减函数，
则须y′≤0，即α≥3x²恒成立，
这样的实数a不存在，
故f（x）在[1，+∞）上不可能是单调递减函数；
若f（x）在[1，+∞）]上是单调递增函数，则a≤3x²恒成立，
由于x∈[1，+∞），故3x²≥3，解可得a≤3，
又由a＞0，则a的取值范围是0＜a≤3；
（2）（反证法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能为单调递增函数．
假设f（x）≠x，若1≤x＜f（x），则f（x）＜f（f（x））=x，矛盾； …（8分）
若1≤f（x）＜x，则f（f（x））＜f（x），即x＜f（x），矛盾，…（10分）
故只有f（x）=x成立．
点评：本题考查函数单调性的应用：已知单调性求参数范围，及符合函数的求值问题，注意反证法的应用．