Question

已知函数f(x)=lnx-

a

x

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求实数a的值；
（3）若函数f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数f′（x），对a进行分类讨论，令导函数f′（x）＞0，求解即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）对a进行分类讨论，利用导数分别求解函数的最值，再根据函数f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，列出方程，求解即可求得a的值；
（3）利用参变量分离法，将不等式f（x）＜x²转化为a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立，进而利用导数求函数令g（x）=xlnx-x³的取值范围，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=lnx-

a

x

，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
②当a＜0时，令f′（x）＞0，解得x＞-a，
∴f（x）的单调增区间为（-a，+∞）．
综合①②，当a≥0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-a，+∞）；
（2）由（1）可知，f′(x)=

x+a

x2

，
①若a≥-1，则x+a≥0，
∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f(x)min=f(1)=-a=

3

2

，
∵a≥-1，
∴a=-

3

2

(舍去)；
②若a≤-e，则x+a≤0，
∴f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
∴f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f(x)min=f(e)=1-

a

e

=

3

2

，
∵a≤-e，
∴a=-

e

2

(舍去)；
③若-e＜a＜-1，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=

3

2

，
∴a=-

e

．
综合①②③可得，实数a的值为a=-

e

；
（3）∵f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，
∴lnx-

a

x

＜x2在（1，+∞）上恒成立，
∵x＞0，
∴不等式两边同乘以x得xlnx-a＜x³，即a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=xlnx-x³，
∴h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，
∴h′(x)=

1

x

-6x=

1-6x2

x

，
∵x＞1，
∴h′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴h（x）＜h（1）=-2，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，
∴g（x）＜g（1）=-1，
∴a≥-1．
故实数a的取值范围为a≥-1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．同时利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．