Question

已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且经过点．
（I）求双曲线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1与双曲线C有唯一公共点，求k的值．

Answer 1

解：（I）设双曲线C的方程为=λ，根据题意得，∴λ=-1．
∴双曲线C的方程为
∴
∴双曲线C的准线方程为．
（Ⅱ）由得（16k²-9）x²+32kx-128=0，
当16k²-9=0，即k=±时，方程分别有一解，从而方程组分别有一解，符合题意；
当16k²-9≠0，即k≠±时，由△=（32k）²+512（16k²-9）=0得，∴．
综上，k的值为±和．
分析：（I）利用双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设出双曲线方程，代入P的坐标，即可求双曲线C的方程，从而可求准线方程；
（Ⅱ）直线y=kx+1与双曲线C联立，分类讨论，利用判别式，可求k的值．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．