Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D。

（I）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（II）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，A₁E∥平面ADC₁？请给出证明。

Answer 1

解：（I）在正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，AD平面ABC，
∴AD⊥CC₁              
又AD⊥C₁D，CC₁交C₁D于C₁，
且CC₁和C₁D都在面BCC₁B₁内，
∴AD⊥平面BCC₁B₁；
（II）由（I），得AD⊥BC
在正三角形ABC中，D是BC的中点
当=1，即E为B₁C₁的中点时，A₁E∥平面ADC₁
事实上，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形BCC₁B₁是矩形，
且D、E分别是BC，BC₁B₁的中点，
所以BB₁∥DE且BB₁=DE
又BB₁∥AA₁，且BB₁=AA₁，
∴AA₁∥DE，且AA₁=DE
所以四边形AA₁DE为平行四边形，
所以A₁E∥AD
而A₁E在平面ADC₁外，
故A₁E∥平面ADC₁。