Question

（2012•安徽模拟）设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若a1=

1

2

，an=f(n)(n∈N*)，且b1=1，bn=g(n)(n∈N*)，则数列{a_nb_n}的前n项和为S_n为（　　）

• A．

  n(n+1)

  2

• B．n+1-

  1

  2n

• C．

  3n

  2

• D．2-

  n+2

  2n

Answer 1

分析：根据f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），令x=1，y=n，分别求得数列的通项an=

1

2n

，b_n=n，再利用错位相减法求数列的和即可．

解答：解：∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴令x=1，y=n可得

f(n+1)

f(n)

=f(1)=a1=

1

2

∴

an+1

an

=

1

2

∴{a_n}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列
∴an=

1

2n

∵g（x）+g（y）=g（x+y），
∴∴令x=1，y=n可得g（1）+g（n）=g（n+1）
∴b_n+1-b_n=g（1）=b₁=1
∴数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴b_n=n
∴数列{a_nb_n}的前n项和为S_n=1×

1

2

+2×

1

22

+…+n×

1

2n

∴

1

2

S_n=1×

1

22

+2×

1

23

+…+（n-1）×

1

2n

+n×

1

2n+1

两式相减可得

1

2

S_n=1×

1

2

+1×

1

22

+1×

1

23

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

故选D．

点评：本题考查数列的通项与求和，解题的关键是赋值，确定数列的通项，属于中档题．