Question

（本小题满分14分）

已知函数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）对任意正数，证明：。

 

Answer 1

【答案】

（1）在中单调递增，而在中单调递减。

（2）证明见解析。

【解析】（1）当时，，求得 ，

于是当时，；而当 时，。

即在中单调递增，而在中单调递减。

（2）.对任意给定的，，由 ，

若令 ，则   … ① ，而     …  ②

（一）、先证；因为，，，

又由  ，得 ．

所以

．

（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则

（ⅰ）、当，则，所以，因为 ，

，此时．

 （ⅱ）、当 …③，由①得 ,，，

因为   所以   … ④

 同理得 …  ⑤ ，于是   … ⑥

今证明   …  ⑦, 因为  ，

只要证  ，即 ，也即 ，据③，此为显然．

 因此⑦得证．故由⑥得 ．

综上所述，对任何正数，皆有．