题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 和双曲线 $数学公式$ 有相同的焦点F₁、F₂，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|的值是________．

25
分析：先根据椭圆和双曲线有相同的焦点F₁、F₂，得到m²-n²=25；再根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．
解答：因为椭圆 $\text{[math]}$ 和双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的焦点F₁、F₂，
所以有：m²-16=n²+9?m²-n²=25
设P在双曲线的右支上，左右焦点F₁、F₂：
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2m ①
|PF₁|-|PF₂|=2n ②
由①②得：|PF₁|=m+n，|PF₂|=m-n．
∴|PF₁|•|PF₂|=m²-n²=25．
故答案为：25．
点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F₁、F₂，利用定义化简．