题目内容

已知F₁，F₂分别是椭圆 $数学公式$ 的左右焦点，已知点 $数学公式$ ，满足 $数学公式$ ，设A、B是上半椭圆上满足 $数学公式$ 的两点，其中 $数学公式$ ．
（1）求此椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率的取值范围．

解：（1）由于 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴椭圆的方程是 $\text{[math]}$ ．

（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴A，B，N三点共线，
而N（-2，0），设直线的方程为y=k（x+2），（k≠0），
由 $\text{[math]}$ 消去x得： $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得 $\text{[math]}$ ①，
又由 $\text{[math]}$ 得：（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂②．
将②式代入①式得： $\text{[math]}$ ，
消去y₂得： $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，?（λ）是减函数，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，又由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AB的斜率的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）有题意及椭圆的方程和性质利用 $\text{[math]}$ ，可以列出 a，b，c的方程，解出即可；
（2）由题意先设直线的方程为y=k（x+2）（k≠0），把直线方程与椭圆方程进行联立，利用韦达定理整体代换，借助于与 $\text{[math]}$ ，得到k，λ的关系式，用λ表示k，有λ的范围再求出k的范围．
点评：此题考查了椭圆的方程及椭圆的基本性质，直线方程与椭圆方程进行联立设而不求及整体代换的思想，还考查了利用均值不等式求值域．