Question

设A，B，C为△ABC的三内角，其对边分别为a，b，c，若

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)且

m

•

n

=

1

2

（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2

3

，三角形的面积为S=

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件利用两个向量的数量积公式和二倍角公式可得-cosA=

1

2

，由0＜A＜π，求得A的值．
（Ⅱ）由三角形的面积求得 bc=4，再由由余弦定理解得b+c=4，从而求得△ABC的周长 b+c+a的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，…（2分）
即-cosA=

1

2

，…（5分）∵0＜A＜π，∴A=

2π

3

．…（7分）
（Ⅱ）由S=

1

2

bcsinA=

3

得，bc=4，…（9分）
又由余弦定理解得b²+c² =8，…（11分）
解出b+c=4，则△ABC的周长为 b+c+a=2

3

+4．…（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，余弦定理，二倍角的余弦公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．